Автор Тема: Не является ли математика единственной наукой о божественных логосах  (Прочитано 3353 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Иванов Д.

  • Сообщений: 1427
А вот еще интересный вопрос. Известно, что некоторые физические теории часто возникают из чисто математических рассуждений или решение каких-то уравнений в рамках действующих теорий приводит, казалось бы к абсурдным следствиям, типа отрицательных решений для энергии, которые позже могут получить вполне нормальную физическую интерпретацию. Нобелевский лауреат по физике Вигнер в свое время даже написал стать о необъяснимой эффективности использования математики в физике (после чего ударился в Веданту). Так что не думаю, что можно сказать о математике, что это всего лишь "упражнения ума", тут что-то менее тривиальное.

Оффлайн Виталий II

  • Сообщений: 6591
    • Не указано
Это и вызывает основные вопросы. А откуда мы знаем, что законы логики действительно правильны? И что это значит - "правильны"?
Вы знаете, один еврей- математик из Одессы устав отвечать своим студентам на постоянные потоки вопросов, типа «что такое множество?», «что такое число?», «что такое сложить?» не выдержал однажды  и сказал: «слушайте, а что такое «что такое?»»…
Следующий пример - две теоремы Геделя. Одна из них утверждает (и это доказано), что нам никогда не удастся убедиться, что аксиоматика элементарной арифметики не то чтобы истинна, а хотя бы непротиворечива.
Одно уточнение: когда говорят «элементарная арифметика» - то не всегда верно выражают суть дела. Эта арифметика «элементарная» не в том смысле, что её учат с первого по третий класс начальной школы. Ничего подобного – формальная арифметика это очень сложная система, обладающая громадной выразительной мощью способной кодировать в себе часть своего метаязыка. В ней содержаться различные высказывания о  натуральных числах, которые как Вы понимаете, сами по себе могут быть очень сложны в своем доказательстве. Как, например, теорема Ферма или гипотеза Гольдбаха.  Здесь не то чтобы школьник не разберется не всякий профессиональный математик разберется.
Спрашивается, на каком основании мы тогда ей доверяем?
На том основании, что её непротиворечивость доказана .И доказательство её непротиворечивости Вы можете найти насколько помню в книге Коэна «теория множеств». Конечно, доказательство чего угодно базируется на чем-либо. Чтобы что-то доказать нужно из чего-то всегда исходить. Нужен начальный набор аксиом. В частности доказательство непротиворечивости арифметики Пеано использует в своем составе как раз аксиому выбора…
 
Однако, во-первых, у нас нет никаких причин считать, что аксиомы арифметики истинны в реальном мире.
Поэтому используется не арифметика Пеано для описания мира – а различные физические модели. А практика как критерий истины и является тем, что позволяет судить о верности их применения.
P.S. Вот вам и "каша" в мышлении, не какая-то древняя, а абсолютно современная. Причем, увы, доказано, что логически эту кашу расхлебать невозможно...
А тут нет никакой каши.  Если бы так говорили философы было бы другое дело…

Оффлайн Вл.Вл-ч

  • Сообщений: 3264
    • Православный
Так что не думаю, что можно сказать о математике, что это всего лишь "упражнения ума", тут что-то менее тривиальное.
Так и не говорилось.

Оффлайн Виталий II

  • Сообщений: 6591
    • Не указано
Теорема Геделя говорит, что теория не полна в рамах собственной системы аксиом, в некоторых случаях можно доказывать полноту через аксиомы другой фс, кроме того есть некоторый класс теорий, для которых соблюдается полнота (например логика первого порядка полна и непротиворечива). Но в целом, подписываюсь. Во всяком случае для меня вопрос не решен на все 100%. Может у Виталия свое мнение на этот счет?
Вы совершенно верно все сказали. Просто формальная арифметика - это очень мощная теория, она способна в себе представить почти весь мир в закодированном виде. Я вот приведу аналоги.: вот вы представьте себе какие игровые миры способен генерировать компьютер. Какие в тех мирах возникают отношения между объектами и насколько сложен тот мир. А ведь там, все действия осуществляются с чилами по простейшим математическим правилам, все из которых можно представить предикатами PA. (Пеано арифметики).

Оффлайн Даниэль Алиевский

  • Сообщений: 8646
    • Иудей
Теорема Геделя говорит, что теория не полна в рамах собственной системы аксиом, в некоторых случаях можно доказывать полноту через аксиомы другой фс, кроме того есть некоторый класс теорий, для которых соблюдается полнота (например логика первого порядка полна и непротиворечива). Но в целом, подписываюсь. Во всяком случае для меня вопрос не решен на все 100%. Может у Виталия свое мнение на этот счет?
У Геделя две знаменитые теоремы. Одна - о неполноте арифметики. Вторая - о недоказуемости непротиворечивости арифметики. Я о второй.

Оффлайн Виталий II

  • Сообщений: 6591
    • Не указано
Еще заметка об PA и связи с нашим чувственно-вопринимаемым миром.

Все явления обладают такой особенностью, что они ВСЕ до одного могут быть описаны числами. Всем потокам ощущений – соответствуют всегда те или иные числа. Чтобы не вдаваться в длительные философские рассуждения почему это так, мы обратимся к такому известному всем в наше время феномену как компьютер. Все мы знаем, и наверное имеем целую массу фотографий в компе. Понятно, что качество можно улучшать, можно улучшать и разрешение экрана, и тогда все воспроизводимые на экране образы будут ничем не отличаться от тех, которые, мы, видим когда гуляем, например, по лесу. Но что такое фотография в компе? Это просто именованная последовательность нулей и единиц на диске - файл т.е. число двоичной системы счисления. Точно также и фильмы к которым помимо зрения добавляется ещё и слух представляют собой такие же файлы. Поэтому не только все зрительные образы можно «занумеровать» но и также все слуховые ощущения. А если понимать то, что мы вообще –то видим не глазами а мозгом (картинка рождается где-то в затылочной части) то становится ясным, что если на те нервы к которым "подключается" глаз подать соответствующим образом закодированные сигналы из того же компьютера, то ваша чувственная способность нарисует вам все то, что вы видете на данный момент. Мало того: вы можете видеть даже своими собственными глазами Геракла, или Кентавров или Кощея, или даже рай или ад как вживую. И не только видеть, но и слышать, и чувствовать. Вы вообще не смогли бы их заподозрить в нереальности, потому что видели бы своими глазами и слышали бы своими ушами точно также как видите теперь этот текст. Хотя ясно, что то что вы видите есть просто представление вашей чувственности, которая рисуется вследствие специальным образом закодированных сигналов поданных вам на соответствующие зрительные и другие нервы.  Так вот, в итоге – все наши воспринимаемые ощущения, могут быть адекватным образом переведены на язык чисел, и все явления природы мы можем занумеровать. Специальным образом построенная нумерация всех явлений природы в физике называется «арифметизацией физического пространства», результатом её является пространство геометрическое, составленное из 4-к различных чисел, и заданных над ними метрических и порядковых отношений (насколько предложенная физиками арифметизация удачна – это другой вопрос; по самой процедуре арифметизации можете прочитать книжку А.А. Фридмана "мир как пространство и время"). И затем мы имеем дело только с числами – объектами математики, и можем с ними проделывать все то, что законно в последней. (этим кстати объясняется «непостижимая эффективность применения математики к описанию явлений природы» только нужно правильно задавать сигнутуру системы). Однако, число, подобно Харону есть - перевозчик, оно перевозит через реку Стикс (т.е. через посредство органов чувств) явления т.е. объекты из «мира теней» – «в мир идей» и «мир теней», через число связывается с "миром идей", принимая в себя уже вот эту объективную сторону какая возможна «в мире идей», про которую и мы можем уже иметь объективное знание в том же смысле, как можем иметь объективное знание о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Главное уметь правильно интерпритировать последовательности чисел (т.е. иметь "кодаки", которые умеют работать с изображениями, звуком и т.д. - а их роль в науке и выполняют различные мат. модели). Поисками кодаков и занимается наука, она старается понять, как следует интерпритировать двоичные числа, чтобы в нашей голове родилась адекватная интерпритация наблюдаемых явлений т.е. чтобы в нашем сознании «произошло кино». Замете: что в компьютере мы можем моделировать целые игровые миры, а их великолепие и масштаб ограниченно только физическими возможностями современных компьютеров, а не  слабостью мат. модели. Т.е. формальные средства которые только пользуется вычислительная машина обладают достаточно большой  выразительной мощью, они способны «нарисовать в себе» - целую вселенную, в которой мы могли бы жить. И все это имеет свое адекватное выражение в действии с числами. В этом и заключается гениальность Пифагора если попытаться выразить его философию современным языком. Также тут можно найти прямую аналогию и с Платоном если понимать, что на языках высокого уровня все реализуется в концепции объектно -ориентированного прогшраммирования. Т.е. используются классы= идеи=парадейгмы Платона  и конкретные их экземпляры - объекты - индивиды вида. 

Оффлайн Даниэль Алиевский

  • Сообщений: 8646
    • Иудей
Я бы всё-таки повернул дело ближе к прагматикке. Доверяем - для каких целей? Если для построения теорий, то строим, пока не столкнулись с противоречием, а когда столкнёмся - что-нибудь подправим в фундаменте; именно так в математике всё и происходит.
Почему обязательно "для построения теорий"? Арифметику везде применяют. Вот, например, чтобы узнать, сколько я в магазине потратил. А вдруг в один прекрасный день я сложу числа сначала в одном порядке, потом в другом, и получу разный результат? Не может быть? А почему?

"Подправить в фундаменте", действительно, пока худо-бедно удавалось, но... совершенно непонятно, почему удавалось и долго ли это будет продолжаться. Единственное внятное объяснение, почему так получается, я вижу в том, что это одна из форм диалога с Богом, который и правда тренирует нас.

Оффлайн Виталий II

  • Сообщений: 6591
    • Не указано
У Геделя две знаменитые теоремы. Одна - о неполноте арифметики. Вторая - о недоказуемости непротиворечивости арифметики. Я о второй.
Вторую т. Геделя Вы понимаете неправильно. (как и первую, но для первой уточнение не существенно)

Оффлайн Даниэль Алиевский

  • Сообщений: 8646
    • Иудей
Вы знаете, один еврей- математик из Одессы устав отвечать своим студентам на постоянные потоки вопросов, типа «что такое множество?», «что такое число?», «что такое сложить?» не выдержал однажды  и сказал: «слушайте, а что такое «что такое?»»…
В точности то же самое около 30 лет назад сказал мне милейший человек, зам. директора уральского института математики Н.И.Черных, когда прочитал мою детскую работу по логике :)

Одно уточнение: когда говорят «элементарная арифметика» - то не всегда верно выражают суть дела. Эта арифметика «элементарная» не в том смысле, что её учат с первого по третий класс начальной школы. Ничего подобного – формальная арифметика это очень сложная система, обладающая громадной выразительной мощью способной кодировать в себе часть своего метаязыка. В ней содержаться различные высказывания о  натуральных числах, которые как Вы понимаете, сами по себе могут быть очень сложны в своем доказательстве. Как, например, теорема Ферма или гипотеза Гольдбаха.  Здесь не то чтобы школьник не разберется не всякий профессиональный математик разберется.
Я сказал "элементарная", чтобы уточнить, что речь идет о простейших арифметических объектах: натуральных числах. Выражение "элементарная", конечно, всегда сбивает с толку.

На том основании, что её непротиворечивость доказана .И доказательство её непротиворечивости Вы можете найти насколько помню в книге Коэна «теория множеств». Конечно, доказательство чего угодно базируется на чем-либо. Чтобы что-то доказать нужно из чего-то всегда исходить. Нужен начальный набор аксиом. В частности доказательство непротиворечивости арифметики Пеано использует в своем составе как раз аксиому выбора…
Понятно, что доказательства непротиворечивости существуют. Проблема в том - это и есть трагический и уникальный результат Геделя - что доказательство непротиворечивости арифметики не может опираться на теорию, столь же простую или более простую, чем сама арифметика. Ибо предположение о существовании такого доказательства в рамках "арифметизируемой" теории с неизбежностью приводит к противоречию.

Иначе говоря, при доказательстве непротиворечивости арифметики мы не можем исходить из чего-то более простого и надежного, чем сама арифметика. (В отличие, скажем, от геометрии Евклида, непротиворечивость которой можно свести к более простому вопросу о непротиворечивости арифметики.) А если так, то любое доказательство теряет содержательный смысл. Что толку доказывать непротиворечивость арифметики при помощи более сильной теории, если в непротиворечивости последней мы уверены еще меньше.

Поэтому используется не арифметика Пеано для описания мира – а различные физические модели. А практика как критерий истины и является тем, что позволяет судить о верности их применения.
Физические модели невозможно построить без математики, а математика базируется на арифметике.

А тут нет никакой каши.  Если бы так говорили философы было бы другое дело…
Увы. Философы прошлого опирались лишь на достаточно смутные рассуждения. Сегодняшние факты насчет математики являются строго доказанным теоремами.

Оффлайн Даниэль Алиевский

  • Сообщений: 8646
    • Иудей
Вторую т. Геделя Вы понимаете неправильно. (как и первую, но для первой уточнение не существенно)
Может быть, конечно. Я ведь не профессиональный математик. По крайней мере, доказательство я читал внимательно, и мне показалось, что все достаточно понятно.

Оффлайн Виталий II

  • Сообщений: 6591
    • Не указано
Физические модели невозможно построить без математики, а математика базируется на арифметике.
Ну что Вы… Это совсем не так. Поймите правильно: существует огромное количество различных арифметик, например Прессбургера (она полна и непротиворечива),  арифметика Робинсона, примитивно-рекурсивная арифметика и д.р. а также бесконечное количество исчислений, и различных формально-аксиоматических систем которые полны и непротиворечивы…
Та, о которой речь идет у Геделя – это арифметика Пеано.
Увы. Философы прошлого опирались лишь на достаточно смутные рассуждения. Сегодняшние факты насчет математики являются строго доказанным теоремами.
Ага…

Оффлайн Виталий II

  • Сообщений: 6591
    • Не указано
Может быть, конечно. Я ведь не профессиональный математик. По крайней мере, доказательство я читал внимательно, и мне показалось, что все достаточно понятно.
Обычная ошибка в понимании теоремы Геделя (второй) состоит в том, что люди думают, что  если формальная арифметика S  непротиворечива, то в ней невыводима формула, содержательно утверждающая непротиворечивость S. На самом деле это не совсем так. Точнее - это совсем не так... Нашим советским математиком Есениным -Вольпиным была предьявлена  формула (отличная от Геделевской) которая также содержательно выражает
непротиворечивость арифметики, но которая уже выводима в самой системе. Поэтому нельзя ограничиться формулировкой которая подразумевается изначально, что вот "всякая такая формула невыводима в S". Ничего подобного: некоторые выводимы а некоторые нет, нужно указать конкретную формулу которая невыводима.

Оффлайн Даниэль Алиевский

  • Сообщений: 8646
    • Иудей
Обычная ошибка в понимании теоремы Геделя (второй) состоит в том, что люди думают, что  если формальная арифметика S  непротиворечива, то в ней невыводима формула, содержательно утверждающая непротиворечивость S. На самом деле это не совсем так. Точнее - это совсем не так... Нашим советским математиком Есениным -Вольпиным была предьявлена  формула (отличная от Геделевской) которая также содержательно выражает
непротиворечивость арифметики, но которая уже выводима в самой системе. Поэтому нельзя ограничиться формулировкой которая подразумевается изначально, что вот "всякая такая формула невыводима в S". Ничего подобного: некоторые выводимы а некоторые нет, нужно указать конкретную формулу которая невыводима.
Это интересно. И важно - на эту тему сделано немало философских выводов. Можно ссылки на соответствующие статьи?

Оффлайн Виталий II

  • Сообщений: 6591
    • Не указано
Это интересно. И важно - на эту тему сделано немало философских выводов. Можно ссылки на соответствующие статьи?
Можно, только не сейчас (уже поздно).
А что касается философских выводов то в одной из книг на этот счет наш отечественный математик Успенский Я.В. (кажется книжка так и называется "труды по нематематике" посмотрите пока там, может там будут и прямые сслыки  на статьи) прям так примерно  и заметил ".... Но в таком виде эта теорема теряет свой метафизический философский запал..."

Оффлайн Виталий II

  • Сообщений: 6591
    • Не указано
Не из опыта - математика давно переросла "определения" в стиле Энгельса, ее абстракции и теоремы обычно заведомо не имеют отношения к реальности (хотя бы в силу своей бесконечности).
Как видно из приведенного мною примера о связи чувств и чисел - это не совсем так.
Кроме того, сторонники указанного формального подхода так и не сумели построить варианты математических оснований (логик), сколько-нибудь отличные от традиционных - в основном речь идет об отмене или добавлении нескольких аксиом в рамках серии с взаимно-эквивалентных логических аксиом.
Не совсем так.  "Традиционные варианты"  - это все то, что  имеет к формальной математике малое отношение.
Нужно всегда отличать некую аксиоматическую систему, от формально-аксиоматической теории. Это совершенно разные объекты.  То что придложили математики как "игра с символами" - это и есть та область на которую только и исключительно рапространяются теоремы Геделя.  Просто в математике начиная с Расела выявились противоречия, нужно было уточнить понятие "множество" и связынные с ними опирации. Это сделать удалось (насколько помню Уайтеху и Бернайсу) в своей работе  "основания математики", которые хотели избавить впринципе её от возможности возникновения в ней противоречия подобного Расселовскому. Гедель же рассуждая над этой работой и пришел к выводу: если этим рябятам это действительно удалось, то тогда у них есть проблемы... - их система оказывается существенно не полной...
Тогда что же изучает математика и откуда мы это знаем?
Математика как наука изучает некоторый перечень формально акиоматических систем и их свойств. "Доказать что-либо в математике "  - почти всегда означает доказать что-либо в такой формально аксиоматической системе как ZFC - т.е. системе аксиом Цермелло-Френкеля пополненной аксиомой выбора. Если что-то может быть доказано в этой системе, то это означает, что это доказанно в математике. Но так как доказательства в ZFC - невероятно длинны, и самые простые вещи могут занять тысячи страниц текста, то для людей они не читабельны. ПОэтому "доказать что либо в математике" = убедить другого математика, что такое доказательство хотя бы в принципе возможно в ZFC...

Оффлайн Виталий II

  • Сообщений: 6591
    • Не указано
Эта самая независимость от нас и является здесь самым поразительным фактом. Если они не существуют в реальной Вселенной, но при этом объективны, значит... они являются какими-то выражениями или свойствами того, что вне нас и при этом вне Вселенной.
Она от нас независима в том смысле, в каком она может вопроизводиться на куске "железа" именуемого компьютер. Все формальные системы ВСЕГДА устроенны так, что все их теоремы могут быть получены бездушным куском железа - компьютером. В этом смысле они независимы от нашего мышления. Просто мы - сложное существо, и тоже из себя частично  представляем вот такой вот компьютер (но не ограничиваемся им). Но нам тяжело работать как вычислиительной машине с такими вот манипуляциями, мы люди почти всегда вопринимаем любой объект вместе с его интерпритацией (в математике это изучается теорией моделей) - нам важен смысл в отличии от компа. Нам важно что-бы для нас из набора последовательностей  нулей и единиц выросло что-то осмысленное, поэтому мы ищем почти автоматически интерпритации всему.

Оффлайн Вл.Вл-ч

  • Сообщений: 3264
    • Православный
Почему обязательно "для построения теорий"? Арифметику везде применяют.
Я же упоминал прикладную математику - это само собой.
Цитировать
"Подправить в фундаменте", действительно, пока худо-бедно удавалось, но... совершенно непонятно, почему удавалось и долго ли это будет продолжаться. Единственное внятное объяснение, почему так получается, я вижу в том, что это одна из форм диалога с Богом, который и правда тренирует нас.
Т.е. Вы согласились, что смысл математики - в тренировках? :)
А всё же, какой религиозный смысл Вы желаете разглядеть в математике?

Оффлайн Виталий II

  • Сообщений: 6591
    • Не указано
Вроде нигде :) Думаю, что он так или иначе привязан к сознанию - а тогда значит заложен Богом в творение.
Я считаю, что "этот мир" - есть инкрустированное в наш позновательный аппарат средство соединения двух миров: чувственно-вопринимаемого и умственно-постигаемого. Число - это то что связывает два мира воединый мир. Но отдельно от сознания кого либо - чисел - не существует. Это не объекты природы, а особенность нашей души, встроенного позновательного средства.

Оффлайн Вл.Вл-ч

  • Сообщений: 3264
    • Православный
Я считаю, что "этот мир" - есть инкрустированное в наш позновательный аппарат средство соединения двух миров: чувственно-вопринимаемого и умственно-постигаемого. Число - это то что связывает два мира воединый мир. Но отдельно от сознания кого либо - чисел - не существует. Это не объекты природы, а особенность нашей души, встроенного позновательного средства.
Правильно ли я Вас понял, что Вы согласились со мной и сказали подробнее?

Оффлайн Виталий II

  • Сообщений: 6591
    • Не указано
Правильно ли я Вас понял, что Вы согласились со мной и сказали подробнее?
да